CAPÍTULO 3 / TEMA 1

MEDIDAS

PODEMOS MEDIR CASI TODO LO QUE CONOCEMOS GRACIAS A LAS UNIDADES DE MEDIDA. ESTAS NOS PERMITEN SABER CUÁN ALTO ES UN EDIFICIO, CUÁNTO PESA UN BEBÉ, QUÉ DISTANCIA HAY DE NUESTRA CASA HASTA LA ESCUELA, CUÁNTA LECHE ENTRA EN UNA TAZA O CUÁNTO TIEMPO DURA UN RECREO. HOY APRENDERÁS CUÁLES SON Y CÓMO USARLAS.

¿qué es medir?

MEDIR ES COMPARAR LA MISMA CARACTERÍSTICA ENTRE DOS O MÁS ELEMENTOS.

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL DE LOS EDIFICIOS CREES QUE ES MÁS ALTO?

EL EDIFICIO A ES MÁS ALTO QUE EL EDIFICIO B.

ESTA CARACTERÍSTICA SE LLAMA LONGITUD Y SIRVE PARA SABER CUÁL ES LA ALTURA DE UN EDIFICIO O CUÁL ES LA ALTURA DE UNA PERSONA.

UNIDADES DE MEDIDA

LAS UNIDADES DE MEDIDAS NO AYUDAN A COMPARAR LA CANTIDAD DE LAS COSAS, PERO NO TODAS SON IGUALES. EXISTEN UNIDADES CONVENCIONALES Y NO CONVENCIONALES.

UNIDADES CONVENCIONALES

LAS UNIDADES CONVENCIONALES SON RECONOCIDAS Y ACEPTADAS EN TODOS LOS PAÍSES. SON MUY ÚTILES PARA NO COMETER ERRORES AL MEDIR. ¡SEGURO HAS ESCUCHADO NOMBRAR A ALGUNAS DE ELLAS!

ALGUNOS EJEMPLOS SON EL KILOGRAMO, EL METRO, EL KILÓMETRO, EL LITRO O LA HORA.

¿QUÉ PODEMOS MEDIR CON ESTAS UNIDADES?

LA MASA

PARA MEDIR LA MASA USAMOS LOS GRAMOS O LOS KILOGRAMOS. CUANDO UN CUERPO ES PEQUEÑO USAMOS LOS GRAMOS Y CUANDO ES GRANDE USAMOS LOS KILOGRAMOS.

UN PERRO ADULTO PESA CERCA DE 30 KILOGRAMOS.

LA LONGITUD

PARA MEDIR LA LONGITUD USAMOS LOS METROS O LOS KILÓMETROS. CUANDO UN OBJETO ES PEQUEÑO USAMOS LOS METROS Y CUANDO ES GRANDE USAMOS LOS KILÓMETROS.

EL LARGO DE UN PIZARRÓN PUEDE SER DE 3 METROS.

LA CAPACIDAD

PARA MEDIR LA CAPACIDAD USAMOS LOS LITROS.

ESTA JARRA TIENE CAPACIDAD PARA UN LITRO DE AGUA.

EL TIEMPO

PARA MEDIR EL TIEMPO USAMOS LA HORA, LOS MINUTOS Y LOS SEGUNDOS. TAMBIÉN PODEMOS USAR LOS DÍAS, LAS SEMANAS, LOS MESES Y LOS AÑOS.

LOS RELOJES NOS PERMITEN SABER QUÉ HORA ES.

¿CONOCES ESTO? ¡SEGURO EN TU AULA HAY UNO! SÍ, ES UN CALENDARIO. ES UNA HERRAMIENTA QUE PERMITE REGISTRAR EL PASO LOS DÍAS, SEMANAS Y MESES EN TODO UN AÑO. GRACIAS ÉL TAMBIÉN PODEMOS SABER CUÁNDO INICIAN Y TERMINAN LAS ESTACIONES. COMO VES, UN AÑO TIENE 12 MESES Y 365 DÍAS. CADA SEMANA TIENE 7 DÍAS.

VER INFOGRAFÍA

UNIDADES NO CONVENCIONALES

EN LA ANTIGÜEDAD, EL CUERPO HUMANO ERA USADO COMO UNIDAD DE MEDIDA, ASÍ, PARA SABER CUÁN LARGO ERA UN OBJETO LAS PERSONAS USABAN LOS PALMOS, PIES, CODOS O PASOS. ESTAS UNIDADES SE LLAMAN NO CONVENCIONALES PORQUE NO SON IGUALES PARA TODOS.

LAS UNIDADES DE MEDIDA NO CONVENCIONALES NO SON EXACTAS, PUES NO TODOS TENEMOS LAS MISMAS PROPORCIONES EN NUESTRO CUERPO. SI USAMOS LA PALMA DE NUESTRA MANO PARA MEDIR EL LARGO DEL PIZARRÓN NO TENDRÍAMOS LA MISMA MEDIDA QUE SI LO HACE UN ADULTO O UN BEBÉ, PORQUE EL TAMAÑO DE LAS MANOS NO ES EL MISMO.

¿SABÍAS QUÉ?

NO HAY FORMA DE MEDIR EL AMOR, LA FELICIDAD NI EL MIEDO. LAS EMOCIONES SON UNA DE LAS POCAS COSAS QUE NO PODEMOS MEDIR.

¿POR QUÉ ES IMPORTANTE MEDIR?

LOS SERES HUMANOS MEDIMOS LAS COSAS POR MOTIVOS DIFERENTES: PARA SABER QUÉ CANTIDAD DE INGREDIENTES USAMOS PARA UNA TORTA, QUÉ TAN ALTO SE CONSTRUIRÁ UN EDIFICIO, LA HORA A LA QUE IREMOS AL COLEGIO O LOS DÍAS QUE FALTAN PARA NUESTRO CUMPLEAÑOS. LAS MEDIDAS NOS AYUDAN A ORGANIZAR Y ENTENDER LAS SITUACIONES.

MEDIR DE FORMA REGULAR NUESTRO PESO NOS AYUDA A SABER SI ESTAMOS EN UNA CONDICIÓN SALUDABLE. SIEMPRE SERÁ UN PROFESIONAL DE LA SALUD EL QUE TE INDIQUE SI ESTÁS EN EL PESO CORRECTO PARA TU EDAD Y ALTURA. EL INSTRUMENTO PARA MEDIR EL PESO ES LA BALANZA. PUEDE QUE TENGAS UNA EN CASA, TAMBIÉN PUEDES VERLA CUANDO VAS A VISITAR AL MÉDICO O EN UNA FARMACIA.

¡A ORGANIZARNOS!

¿HAS HECHO FILA EN LA ESCUELA? ¿CÓMO LOS ORGANIZAN? LO MÁS PROBABLE ES QUE SEA POR TAMAÑO. CUANDO HACEMOS ESTO, EN REALIDAD COMPARAMOS NUESTRAS MEDIDAS, ES DECIR, COMPARAMOS LA ALTURA DE NUESTROS COMPAÑEROS CON LA NUESTRA.

UNA NUEVA UNIDAD DE MEDIDA

UNA MEDIDA QUE USAMOS CON FRECUENCIA ES EL GIGABYTE, MEJOR CONOCIDO COMO “GIGA”. ESTA UNIDAD DE MEDIDA NOS INDICA LA CAPACIDAD QUE TIENEN NUESTRAS COMPUTADORAS, TABLETS O TELÉFONOS INTELIGENTES PARA GUARDAR INFORMACIÓN.

¡A PRACTICAR!

INDICA EN CADA CASO LA RESPUESTA CORRECTA.

1. ¿QUÉ UNIDAD DE MEDIDA UTILIZARÍAS PARA SABER EL PESO DE LA VACA?

A) KILOGRAMO

B) KILÓMETRO

C) SEMANA

SOLUCIÓN

B) KILOGRAMO

2. ¿QUÉ UNIDAD DE MEDIDA USARÍAS PARA INDICAR LO QUE MUESTRA ESTE RELOJ?

A) METRO

B) KILÓMETRO

C) HORA

SOLUCIÓN

C) HORA

3. ¿QUÉ UNIDAD DE MEDIDA USARÍAS PARA EXPRESAR LA DISTANCIA QUE TIENE QUE RECORRER ESTE AUTO PARA LLEGAR A OTRA CIUDAD?

A) MES

B) KILÓMETRO

C) KILOGRAMO

SOLUCIÓN

B) KILÓMETRO

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los calendarios”

Este recurso te permitirá profundizar sobre las unidades de medida de tiempo, como los días, meses, y años en un calendario.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

CUADRÍCULA

Es posible que hayas visto rectas verticales y horizontales en algún mapa. Esta red de líneas se llama cuadrícula y sirve para ubicar un punto de manera sencilla. Las cuadrículas tienen varios usos: cuando sus líneas se cruzan forman una coordenada y gracias a ella podemos saber exactamente, por ejemplo, la posición de una persona en el mundo o la posición de un planeta en el espacio.

¿QUÉ ES UNA CUADRÍCULA?

Una cuadrícula es un conjunto de líneas verticales y horizontales que funcionan como sistema de referencia y permiten ubicar elementos en un espacio. Cada línea puede tener asignado un número o una letra.

El tablero de ajedrez es un ejemplo de una cuadrícula porque está formado por líneas rectas perpendiculares. En este caso, cada cuadro dentro de la cuadrícula tiene un número y una letra asignada, los cuales comunican al jugador la posición exacta de la pieza dentro del tablero. La posición se nombra como una coordenada, por ejemplo, posición (C,5).

¿qué son las COORDENADAS?

Las coordenadas son un conjunto de valores que permiten localizar un punto en un espacio determinado. En un plano, las coordenadas están dadas por dos ejes: el eje X y el eje Y.

Ejes de coordenadas

Son las rectas rectas perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen de coordenadas. Juntas forman el sistema de coordenadas.

El eje horizontal se llama eje de abscisas y es conocido normalmente como eje X.
El eje vertical se llama eje de ordenadas y es conocido normalmente como eje Y.

– Ejemplo:

En este sistema de coordenadas observamos que:

El eje Y está representado por números.
El eje X está representado por letras.
El origen de las coordenadas es denotado por (0,0).
La estrella está en un cuadro que corresponde a la posición D del eje X y a la posición 4 del eje Y.

¿Sabías qué?

Al tipo de localización que describe exactamente la posición de un objeto o una persona a través de un sistema de coordenadas geográficas se lo llama localización absoluta.

¿Cómo se escriben las coordenadas?

Existe una manera sencilla de escribir las coordenadas de un punto en el plano, para esto debemos seguir los siguientes pasos:

Ubicar el dato del eje horizontal o eje X.
Ubicar el dato del eje vertical o eje Y.
Separar ambos datos con una coma.
Colocarlos dentro de paréntesis.

Observa el ejemplo anterior. En ese sistema de coordenadas la estrella ocupa el cuadro que coincide con el punto D del eje X y el punto 4 del eje Y. Por lo tanto, las coordenadas de la estrella son (D,4).

– Ejemplo:

Esta cuadrícula tiene coordenadas por cuadros. Los del eje X tienen letras y los del eje Y tienen números. ¿Cuáles son las coordenadas de las figuras?

Figura	Coordenadas
Corazón	(C,5)
Círculo	(E,4)
Rayo	(A,1)

¡A practicar!

Completa la tabla y escribe las coordenadas de las demás figuras.

Solución

Figura	Coordenadas
Corazón	(C,5)
Círculo	(E,4)
Rayo	(A,1)
Cuadrado	(A,5)
Luna	(C,4)
Sol	(B,2)
Nube	(E,2)
Triángulo	(B,3)

¿Sabías qué?

Al ubicar un punto en una cuadrícula, siempre tomaremos primero la referencia horizontal del eje X y luego la vertical del eje Y.

Las coordenadas geográficas nos permiten saber cualquier ubicación en la Tierra por medio de una combinación de números y letras. En este sistema, las líneas horizontales representan a los paralelos que determinan la latitud, mientras que las líneas verticales representan a los meridianos que determinan la longitud.

VER INFOGRAFÍA

También podemos hallar puntos en una posición precisa si asignamos valores a las líneas.

– Ejemplo:

Esta cuadrícula tiene coordenadas con letra en el eje X y coordenadas con números en el eje Y. ¿Cuáles son las coordenadas de los punto de colores?

Color del punto	Coordenada
Azul	(F,3)
Naranja	(B,2)
Rosa	(D,5)

¡A practicar!

Completa la tabla y escribe las coordenadas de los demás puntos.

Solución

Color del punto	Coordenada
Azul	(F,3)
Naranja	(B,2)
Rosa	(D,5)
Verde	(0,4)
Rojo	(0,0)
Morado	(B,6)
Amarillo	(E,1)

GPS: un gran invento

Uno de los mejores inventos de nuestros tiempos ha sido el GPS, cuyas siglas en español significan “Sistema de Posicionamiento Global”. Este sistema brinda servicios de posicionamiento y navegación a todos sus usuarios a nivel mundial. Su funcionamiento se basa en un sistema de coordenadas geográficas llamado WGS que puede ubicar cualquier punto en el planeta.

¿Sabías qué?

Las coordenadas cartesianas son un sistema para localizar un punto en el plano. René Descartes fue el primer matemático que las utilizó de manera formal, de ahí el nombre de “cartesianas”.

¿PARA QUÉ SIRVE LA CUADRICULA?

Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia. La unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto.

Cuando conforman un sistema de coordenadas, las cuadrículas son comunes en los planos de los museos, los parques de diversiones, o incluso de los barrios. También se emplean en los mapas de las ciudades o de los países, los planisferios o incluso los globos terráqueos y en el GPS de los teléfonos móviles y los medios de transporte.

¡A practicar!

Ubica en un cuadrícula las siguientes coordenadas:

(A,3)
(B,7)
(C,2)
(D,6)
(E,1)
(F,5)

Solución

2) Observa la siguiente cuadrícula e indica las coordenadas que están pintadas.

Solución

Azul: (A,6) (A,7) (B,6) (B,7)

Rojo: (F,5) (F,6) (F,7) (G,6)

Morado: (B,3) (C,1) (C,2) (C,3)

Amarillo: (E,1) (E,2) (E,3) (F,1) (F,3) (G,1)

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejes cartesianos”

Este artículo te permitirá ampliar la información acerca del sistema de representación de ejes cartesianos.

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Artículo “Líneas imaginarias del planeta Tierra”

Este artículo brinda información para los estudiantes, así como material para el docente, relacionada a la ubicación geográfica a partir de coordenadas.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

Potencia

La potencia, también llamada potenciación, es una operación matemática que implica multiplicar varias veces un mismo número. Como todo cálculo matemático, tiene sus partes y propiedades. A continuación, aprenderás cuáles son sus características y cómo resolver problemas de este tipo.

¿Qué es la potencia?

La potencia es una multiplicación abreviada. Esta operación consiste en multiplicar un número llamado base la cantidad de veces que indique otro número llamado exponente. Los exponentes los colocamos como superíndice de un número.

Donde:

a: base

n: exponente

¿Sabías qué?

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Elementos de la potencia

Toda potencia está formada por dos elementos:

La base: es el factor que será multiplicado n cantidad de veces.
El exponente: es el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

Cálculo de la potencia de un número

Para calcular la potencia de un número debemos tener conocimientos sobre la multiplicación, ya que el proceso consiste en aplicar esta operación de forma repetitiva.

– Ejemplo:

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

Como el exponente es 3, multiplicamos la base tres veces por sí misma.

– Otros ejemplos:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8
3² = 3 · 3 = 9
6⁴ = 6 · 6 · 6 · 6 = 1.296

Casos especiales

Cuando el exponente es 1, el resultado será igual a la base.

8¹ = 8
12¹ = 12

Cuando el exponente es 0, el resultado siempre será 1.

3⁰ = 1
25⁰ = 1

Cuando la base es 0, el resultado siempre sera 0.

0⁵ = 0
0⁸ = 0

Cuando el exponente es igual a dos (2), decimos que un número está elevado al cuadrado. Esto lo vemos en ecuaciones matemáticas como la del teorema de Pitágoras. Este teorema explica la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Así, si la hipotenusa mide “c”, y la medida de los catetos es “a” y “b”, se verifica que c2 = a2 + b2.

Potencia base 10

Cuando la base es igual a 10 solo se deben añadir tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo:

10⁴ = 10.000
10² = 100
10¹ = 10

Lectura de potencias

Existen dos formas válidas de leer potencias:

1. Nombrar el número de la base seguido de la expresión “elevado a“. Luego nombrar el número del exponente.

6⁵ se lee “seis elevado a cinco”.
2⁸ se lee “dos elevado a ocho”.

2. Nombrar el número de la base seguido de de la expresión “a la“. Luego nombrar el número de exponente como un número ordinal femenino.

6⁵ se lee “seis a la quinta”.
2⁸ se lee “dos a la octava”.

Cuadrados y cubos

Las potencias tienen una estrecha relación con el cálculo del área y el volumen de figuras geométricas. Gracias a esto, cuando el exponente es 2, la potencia se llama cuadrado; y cuando el exponente es 3, la potencia se llama cubo.

Por ejemplo, si un cuadrado está formado por tres cuadros más pequeños por cada lado, basta con hacer este cálculo de 3² que se lee “tres al cuadrado”:

3² = 3 · 3 = 9

En cambio, si tenemos un cubo compuesto por tres cubos más pequeños en sus tres dimensiones: alto, ancho y profundidad, calcularemos 3³ que se lee “tres al cubo”:

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

Entonces, un cubo de Rubik está formado por 27 cubos más pequeños.

Bases negativas

Cuando la base es negativa, el resultado puede variar de estas formas:

Si el exponente es un número impar, el resultado será negativo.
Si el exponente es un número par, el resultado será positivo.

– Ejemplo:

(−2)³ =(−2) · (−2) · (−2) = −8
(−2)² = (−2) · (−2) = 4

¡A practicar!

¿Qué signo tendrá el resultado de las siguientes operaciones?

(−15)¹³
Solución
Negativo porque 13 es impar.

(14)²⁰
Solución
Positivo porque 20 es par.

(−5)⁴
Solución
Positivo porque 4 es par.

Usos de la potencia

Las aplicaciones de la potenciación son de amplio rango en diversas profesiones. Los astrónomos emplean la potencia de base 10 para representar medidas muy grandes, como la distancia de la Tierra al Sol. También las usan los oceanógrafos y geólogos para escribir el valor de grandes extensiones de tierra o agua, por ejemplo, el volumen del océano Atlántico es 3,54 · 10⁸ km³.

Además de expresar cantidades muy grandes, las potencias funcionan para representar números muy pequeños. La diferencia en esto casos es que la potencia tiene un exponente negativo, por ejemplo, un virus puede llegar a medir 2 · 10⁻⁸ cm, y la masa de un electrón es de 9,1 · 10⁻³¹ kg.

Uno de los tipos de potencias más usadas son las potencias de base 10 porque sirven para expresar cantidades muy grandes de manera sencilla. Estas potencias son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo, la masa del planeta Tierra es de aproximadamente 6 x 10²⁴ kg, es decir, 6 seguido de 24 ceros.

¡A practicar!

1. Expresa en forma de potencia los siguientes productos:

8 · 8 · 8 · 8 =
Solución
8 · 8 · 8 · 8 = 8⁴

3 · 3 =
Solución
3 · 3 = 3²

10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =
Solución
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁶

5 · 5 · 5 · 5 =
Solución
5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

7 · 7 · 7 =
Solución
7 · 7 · 7 = 7³

15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 =
Solución
15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 = 15⁶

2. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones?

9²
Solución
9² = 9 · 9 = 81

(−5)³
Solución
(−5)³ = (−5) · (−5) · (−5) = −125

10⁵
Solución
10⁵ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100.000

(−18)⁴
Solución
(−18)⁴ = (−18) · (−18) · (−18) · (−18) = 104.976

(−6)⁸
Solución
(−6)⁸ = (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) = 1.679.616

10⁹
Solución
10⁹ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1.000.000.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Potenciación y radicación”

Este artículo te permitirá tener más contenido sobre las potencias y la radicación, operación inversa a la potenciación.

VER

Artículo “Ejercicios de potenciación

Con este recurso podrás profundizar sobre qué es la potenciación y encontrarás una lista de ejercicios para reforzar lo aprendido.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 8 (REVISIÓN)

Geometría y mediciones | ¿Qué aprendimos?

Perímetro

El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.

Ángulos

Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.

Área

Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m²) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm²) o el milímetro cuadrado (mm²). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.

Sistemas de referencia

Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.

Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.

El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.

Capacidad y volumen

El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m³), el centímetro cúbico (cm³) y milímetro cúbico (mm³), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm³.

A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.

CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?

La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

¡A practicar!

Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

Solución

Diámetro.

Solución

Arco.

Solución

Cuerda.

Solución

Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

Solución

Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

VER

Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Volumen y capacidad

El volumen y la capacidad son dos conceptos que empleamos a diario. A veces necesitamos medir la cantidad de agua para una receta y otras veces necesitamos saber cuánto puede contener un molde para tortas. En el primer caso hablamos de volumen y en el segundo de capacidad. A pesar de estar relacionados, cada magnitud emplea distintas unidades de medida para los cálculos.

Cálculo de volumen de cubos

Así como en área empleamos cuadrados como referencia para medir una superficie, en la medición del volumen empleamos cubos como referencia.

El volumen es el espacio ocupado por un objeto. Por ejemplo, si una caja tiene un volumen de 200 cm³ (centímetros cúbicos) quiere decir que está formado por 200 cubos que miden 1 cm en cada lado, cada uno.

Para comprender mejor el concepto de volumen, debemos aprender cómo calcularlo en cubos. La fórmula es la siguiente:

$V=a\times a\times a$

Donde:

V = volumen.

a = longitud de los lados del cubo.

La fórmula de volumen también puede expresarse como $V=a^{3}$

– Ejemplo:

Calcula el volumen del siguiente cubo:

Como es un cubo, cada lado mide 3 cm y hay que aplicar la fórmula de volumen, es decir, multiplicar la longitud de un lado tres veces:

$V = 3\, cm\times 3\, cm\times3\, cm = \mathbf{27\, cm^{3}}$

Observa que la unidad centímetro se multiplicó tres veces, por lo tanto, al final se expresa en cm³.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Un cubo tiene tres dimensiones: alto, ancho y profundidad.

Cuando medimos, relacionamos una cantidad con una unidad de medida base, en otras palabras, medir es un proceso de comparación. El volumen es una característica muy importante de los cuerpos porque permite saber cuánto ocupa el mismo en el espacio. Los científicos suelen medir volúmenes de muestras en sus diferentes estudios y ensayos a través de equipos especializados.

Comparación de volúmenes

Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio, por lo tanto tienen volumen. Ese espacio ocupado depende de las características del material, por eso, para realizar comparaciones entre objetos usamos medidas de volumen.

Cuanto mayor sea el lugar que ocupe un cuerpo en el espacio, mayor será su volumen. Por ejemplo, el volumen que ocupa un grano de arroz no es igual al volumen que ocupa un edificio.

Observa las siguientes figuras:

Imaginemos que cada cubo equivale a 1 cm³, ¿cuántos cubos de 1 cm³ tiene la figura 1?, ¿y la figura 2?, ¿cuál figura tiene mayor volumen?

La figura 1 tiene 5 cubos de 1 cm³, así que su volumen es de 5 cm³.
La figura 2 tiene 15 cubos de 1 cm³, así que su volumen es de 15 cm³.

La figura 2 tiene mayor volumen que la figura 1 y, por lo tanto, ocupa mayor espacio.

Otras unidades de volumen

La unidad empleada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico (m³), sin embargo, esta unidad tiene múltiplos y submúltiplos que en situaciones cotidianas suelen emplearse, por ejemplo, el milímetro cúbico (mm³), el decímetro cúbico (dm³), el centímetro cúbico (cm³), etc.

También existen otras unidades de volumen como pulgada cúbica (pulg³) y pie cúbico (pie³).

El litro y las unidades de capacidad

La capacidad es la propiedad que tienen los objeto de contener a otras sustancias dentro de él. Por ejemplo, es común ver en el supermercado diferentes productos con envases en los que hay cierto volumen en su interior, ya sea de gaseosas, aceites o detergentes. El litro (L) es la medida de capacidad que vemos en las etiquetas de estos artículos.

Al ocupar un lugar en el espacio, todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. Por ejemplo, un objeto sólido como una barra de metal, tiene volumen pero no tiene capacidad.

Relación entre capacidad y volumen

La capacidad que tiene un recipiente es equivalente al volumen del objeto. De este modo, si construimos un cubo de 10 cm en cada lado y lo llenamos con agua en su interior, notaremos que la capacidad de ese cubo es igual a 1 litro ya que su volumen es igual a 1.000 cm^3.

Recordemos que:

$V=10 \, cm\times 10 \, cm\times 10 \, cm = 1.000\,\, cm^{3}$

$1\: L = 1.000\: cm^{3}$

Algunas equivalencias útiles

1 litro es igual a 2 medios litros.

$1\: L = \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )\: L$

1 litro es igual a 4 cuartos de litro.

$1\: L = \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )\: L$

Medio litro es igual a 2 cuartos de litro.

$\frac{1}{2}\: L = \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )\: L$

¡A practicar!

Calcula el volumen de los siguientes cubos.

Solución

V = 2 x 2 x 2 = 8 cm³.

Solución

V = 1 x 1 x 1 = 1 cm³.

Solución

V = 4 x 4 x 4 = 64 cm³.

Solución

V = 5 x 5 x 5 =125 cm³.

2. ¿Cuál de los siguientes cubos tiene un volumen igual a 343 cm³?

Solución

Porque $V = 7\, cm\times 7\, cm\times7\, cm = \mathbf{343\, cm^{3}}$ .

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Volumen de los cuerpos sólidos”

Este video muestra cómo se forman los cuerpos geométricos y explica las diferentes fórmulas de volumen en cada caso.

VER

Artículo “Volumen y capacidad: aplicaciones”

Este artículo explica las diferentes unidades de medición de volumen, al igual que las diferentes situaciones en las que puedes aplicarlo.

VER

Artículo “Sistemas de medición”

En este artículo destacado se explica qué es un sistema de medición, sus aplicaciones y los diferentes tipos de instrumentos para medir algunas unidades.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 5

Cuadriláteros

Vemos cuadriláteros en todas partes: desde la cara de un dado hasta una hoja de papel. Estas figuras geométricas son polígonos de cuatro lados con múltiples aplicaciones en la geometría. Se caracterizan por su diversidad y de acuerdo a ciertos criterios se pueden clasificar como paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Características de los cuadriláteros

La palabra “cuadrilátero” proviene del latín y quiere decir “que tiene cuatro lados”. Entonces, los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados que forman entre sí cuatro ángulos. Estas características permiten clasificarlos en varios tipos.

Curiosidades de los cuadriláteros

1. Presentan cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.

2. Todo cuadrilátero tiene dos diagonales.

3. Las dos diagonales del cuadrilátero dividen al mismo en cuatro triángulos.

4. También se denominan cuadrángulo y tetrágono (ambas hacen mención a sus cuatro ángulos y lados).

¿Sabías qué?

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre es igual a 360°.

VER INFOGRAFÍA

Ángulos

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Existen muchos tipos, algunos son:

Ángulo agudo: que tiene una amplitud menor a 90° pero mayor a 0°.
Ángulo recto: que tiene una amplitud igual a 90°.
Ángulo obtuso: que tiene una amplitud mayor a 90° pero menor a 180°.
Ángulo oblicuo: que no es recto. Los ángulos agudos y obtusos son ejemplo de ángulos oblicuos.

Clasificación de los cuadriláteros

La forma de un campo de fútbol no es igual a la forma de un campo de béisbol, pero en ambos casos hablamos de cuadriláteros. Este tipo de figuras se clasifica en tres grandes grupos: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramos

Son cuadriláteros que presentan dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos de todo cuadrilátero tienen la misma longitud. Se clasifican en:

Cuadrilátero	Nombre	Características
	Cuadrado	– Todos sus lados son iguales. – Sus ángulos internos son iguales y miden 90° (ángulo recto).
	Rectángulo	– Sus lados contiguos (lados que están juntos) no son iguales, pero sus lados opuestos sí lo son. – Sus ángulos interiores son iguales y miden 90° (ángulo recto).
	Rombo	– Todos sus lados son iguales. – Sus ángulos interiores son agudos (menores a 90°).
	Romboide	– Sus lados contiguos son desiguales. – Sus ángulos opuestos son iguales. – De sus cuatro ángulos interiores siempre hay un par de ángulos mayor que el otro.

¿Sabías qué?

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

Trapecios

Son cuadriláteros en los que solo dos de sus lados son paralelos, estos lados son llamados bases y siempre hay una de mayor longitud, denominada base mayor; y otra de menor longitud, denominada base menor. Se clasifican en:

Cuadrilátero	Nombre	Características
	Trapecio rectángulo	– Dos de sus ángulos interiores son iguales a 90°, es decir, son rectos.
	Trapecio isósceles	– Sus lados no paralelos tienen la misma medida. – Presentan dos ángulos agudos del mismo valor en una de las bases y dos ángulos obtusos del mismo valor sobre la otra base.
	Trapecio escaleno	– Ninguno de sus lados tiene la misma longitud. – Ninguno de sus ángulos es recto.

Trapezoides

Son cuadriláteros que no poseen ninguno de sus lados paralelos.

Cuadrilátero

Nombre

Características

Trapezoide

– Ninguno de sus lados consecutivos es igual.

Diagonales de los cuadriláteros

Las diagonales son los segmentos de rectas que unen el vértice de un ángulo con el vértice del ángulo opuesto no consecutivo. Todos los cuadriláteros tienen dos diagonales, pero sus características varían de acuerdo al tipo.

Paralelogramos

Las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.

De acuerdo al tipo de paralelogramo las diagonales presentan estas características:

Cuadrado: sus diagonales son iguales y se cortan en ángulo recto.
Rombo: sus diagonales no son iguales pero se cortan en ángulo recto.
Rectángulo: sus diagonales tienen la misma longitud pero se cortan en un ángulo oblicuo.
Romboide: sus diagonales no son iguales y se cortan en un ángulo oblicuo.

Trapecios

Solo en los trapecios isósceles las diagonales son iguales, en los demás casos ambas diagonales son diferentes. En este tipo de figuras las diagonales siempre se cortan en un ángulo oblicuo.

Trapezoide

Los trapezoides presentan diagonales diferentes y oblicuas.

Disciplinas como la arquitectura, la ingeniería y las artes emplean las formas geométricas dentro de sus actividades. Conocer la geometría de las cosas permite tener una mejor visión de nuestro entorno y realizar comparaciones de manera más sencilla. De igual forma, muchas veces la geometría permite resolver problemas matemáticos de forma más simple.

¿Dónde podemos observar cuadriláteros?

Si prestamos atención a nuestro entorno seguramente vamos a ver más cuadriláteros de los que imaginábamos: las baldosas del piso, el techo de la casa, las puertas y ventanas… Incontables objetos tienen forma de cuadriláteros.

Conocer los cuadriláteros tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, si deseamos encontrar el punto medio de un objeto cuadrado como un cartón, basta con trazar dos diagonales y ubicar su punto de intersección.

El baloncesto es un deporte muy popular que emplea un tablero en forma de cuadrilátero, específicamente un rectángulo que mide por lo general 1,80 m de ancho y 1,05 m de alto. En su parte interna se encuentra otro rectángulo que permite calcular el tiro y de esta forma lograr que la pelota caiga sobre la canasta que se encuentra en su parte inferior.

¡A practicar!

Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas diagonales tienen los cuadriláteros?

Solución

Dos diagonales.

b) ¿Qué tipo de trapecio tiene dos ángulos rectos?

Solución

Trapecio rectángulo.

c) ¿Qué tipo de paralelogramo tiene las dos diagonales diferentes pero se cortan en ángulo recto?

Solución

El rombo.

d) ¿Qué cuadrilátero no presenta ningún lado paralelo?

Solución

El trapezoide.

2. Identifica si las siguientes figuras corresponden a un paralelogramo, trapecio o trapezoide.

Solución

Trapezoide.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cuadriláteros”

Este artículo destacado describe los tipos de cuadriláteros y sus diferentes tipos y subtipos. También explica la importancia de reconocerlos y sus aplicaciones en la geometría y la publicidad.

VER

Infografía “Polígonos rectángulos”

Esta infografía permite comprender de manera ilustrada qué son los rectángulos y sus propiedades. También se enfoca en cómo construir este tipo de figura geométrica.

VER

Enciclopedia “Matemática en primaria”

En este tomo se explican las características de elementos básicos de la geometría, como las rectas y los ángulos.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

NOCIÓN DE FRACCIÓN

Así como usamos los números naturales para representar cantidades y decir que, por ejemplo, tenemos 3 pelotas; también existen otros números que nos permiten expresar partes de un todo. Estos números son conocidos como fracciones, hay varios tipos y tienen más usos de los que te imaginas.

¿qUÉ ES UNA FRACCIÓN?

Una fracción es una división e indica las partes de un entero. Por ejemplo, cuando cortamos una torta en varias partes hacemos una división de un entero, es decir, la torta es el entero y cada una de las partes en las que la cortamos puede ser representada con una fracción.

Si cortas en cuatro partes iguales una pizza y te comes una parte, ¿con qué número representarías ese pedazo? ¡Es muy fácil! Solo debes colocar un número sobre otro con una raya en medio: el número de pedazos que comemos va arriba, y el número de veces que dividimos la pizza va abajo. Entonces, ese pedazo de pizza es igual a 1/4.

¿Sabías qué?

En las culturas babilónicas y egipcias aparecieron inscripciones simbólicas que representaban el uso de fracciones.

Elementos de una fracción

Todas las fracciones están formadas por un numerador y un denominador separados por una línea horizontal llamada raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que tomamos del entero.
El denominador es el número de partes iguales en las que dividimos al entero.

Observa este gráfico:

El denominador es 4 porque el cuadrado está dividido en 4 partes iguales.
El numerador es 3 porque solo 3 cuadros están coloreados de rojo.

VER INFOGRAFÍA

Raya fraccionaria: ¿quién la creó?

Las fracciones eran empleadas en la antigüedad por los babilonios, romanos y egipcios. No obstante, fue hasta el siglo XIII que empezaron a usarse tal y como las conocemos en la actualidad. Esto sucedió gracias a los trabajos de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Él fue quien creó la raya para separar al numerador y denominador.

tipos de fracciones

Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes.

Fracciones propias

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. La fracción propia representa un número menor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de verde representa al número entero 1, mientras que el cuadrado con una sola parte pintada de verde representa a la fracción 1/2, es decir, la mitad de 1.

Observa que el gráfico de la fracción tiene menos partes verdes que el de la unidad, es decir, es menor que 1.

Símbolos de relación

Son los que usamos para indicar que una cantidad es mayor, menor o igual a otra. Estos son:

Símbolo	Significado
<	Menor que
>	Mayor que
=	Igual a

Fracciones impropias

Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador. La fracción impropia representa un número mayor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de morado representa al número 1. Para representar la fracción 4/3 fue necesario una unidad (un cuadrado morado) y 1/3 de otra unidad (tomar una parte de otro cuadrado).

Observa que el gráfico de la fracción tiene más partes moradas que el de la unidad, es decir, es mayor que 1.

¡Dibuja una fracción impropia!

$\frac{5}{2}$ es una fracción impropia porque su numerador es mayor a su denominador. Para graficar la fracción seguimos estos pasos:

1. Tomamos una figura como la unidad, por ejemplo un cuadrado.

2. Como el denominador es 2, dividimos en dos partes iguales el cuadrado.

3. Como el numerador es 5, debemos pintar cinco partes, pero cada figura de la unidad solo tiene 2 partes. Por ello, añadimos más figuras idénticas para poder pintar las cinco partes.

Observa que la fracción $\frac{5}{2}$ es mayor a 1 porque hicieron falta dos unidades completas y la mitad de otra para poder representarla.

Fracciones aparentes

Son aquellas en las que el resultado es igual a un número entero.

– Ejemplo:

Al ver el gráfico nos damos cuenta que 4/2 es igual a 2 enteros.

¿De qué tipo son estas fracciones?

Observa estas fracciones y responde:

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{9}{2}$ y $\frac{10}{6}$

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ y $\frac{6}{7}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{2}$ y $\frac{6}{3}$

Fracciones egipcias

Hace miles de años los egipcios escribieron cómo utilizaban las fracciones en el papiro de Rhind. Este documento muestra cómo clasificaban y sumaban las fracciones en su época.

fracciones en la vida cotidiana

En muchas actividades que realizamos en el día utilizamos fracciones. Cuando ayudamos en la cocina vemos como una receta tiene sus ingredientes con fracciones, por ejemplo, 1/2 taza de azúcar. También usamos este tipo de números cuando vamos a la panadería y nos venden 3/4 kilo de pan, o en la verdulería 1/4 kilo de tomates. Al repartir comida, golosinas y otras cosas empleamos una parte del todo para que el reparto sea igualitario.

¡A practicar!

1. Observa estas fracciones y responde las preguntas:

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{6}{12}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{15}{18}$ , $\frac{12}{20}$ y $\frac{10}{12}$

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{7}{5}$ , $\frac{9}{6}$ , $\frac{11}{3}$ y $\frac{5}{4}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{4}$

2. Observa estos gráficos, ¿qué fracción representan?

Solución

Partes pintadas: 4
Partes en las que se dividió el entero: 9

Fracción: $\mathbf{\frac{4}{9}}$

Solución

Partes pintadas: 6
Partes en las que se dividió el entero: 4

Fracción: $\mathbf{\frac{6}{4}}$

Solución

Partes pintadas: 5
Partes en las que se dividió el entero: 6

Fracción: $\mathbf{\frac{5}{6}}$

Solución

Partes pintadas: 3
Partes en las que se dividió el entero: 8

Fracción: $\mathbf{\frac{3}{8}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

Este artículo permitirá profundizar la información sobre las fracciones.

VER

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso permitirá complementar la información sobre la clasificación de fracciones.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.

El planeta Tierra presenta varios movimientos, dos de ellos son la traslación y la rotación.

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SERIES NUMÉRICAS

CADA VEZ QUE ORGANIZAMOS OBJETOS LO HACEMOS SEGÚN UN CRITERIO. PUEDE SER POR TAMAÑO, COLOR O FORMA. ESTO SE CONOCE COMO SERIE Y TAMBIÉN APLICA A LOS NÚMEROS, YA QUE CUANDO HACEMOS CUENTAS DE DOS EN DOS O DE TRES EN TRES, SEGUIMOS UN PATRÓN NUMÉRICO. TAMBIÉN PODEMOS CREAR NUESTROS PROPIOS PATRONES Y HACER UNA GRAN VARIEDAD DE SERIES.

¿QUÉ ES UNA SERIE NUMÉRICA?

UNA SERIE NUMÉRICA ES UNA CONJUNTO DE NÚMEROS ORDENADOS QUE SIGUEN UN PATRÓN O UNA REGLA DETERMINADA.

POR EJEMPLO, ESTOS NÚMEROS FORMAN UNA SERIE Y CADA UNO ES TRES UNIDADES MAYOR AL ANTERIOR.

EL PATRÓN ES: +3. POR LO TANTO, ESTA SERIE NUMÉRICA VA DE 3 EN 3.

LAS SERIES NO SOLO PUEDEN TENER NÚMEROS, TAMBIÉN EXISTEN SERIES DE OBJETOS O ELEMENTOS. TODAS TIENEN ALGO EN COMÚN Y ES QUE SIGUEN UN PATRÓN. POR EJEMPLO, EN ESTA IMAGEN VEMOS UNA SERIE DE ENVASES CON PINTURA QUE SIGUEN UN PATRÓN POR COLORES: UN ENVASE CON PINTURA AMARILLA, UN ENVASE CON PINTURA ROJA Y UN ENVASE CON PINTURA AZUL.

CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES NUMÉRICAS

LAS SERIES NUMÉRICAS PUEDEN SER PROGRESIVAS O REGRESIVAS. EN LAS SERIES PROGRESIVAS LOS NÚMEROS VAN DE MENOR A MAYOR, MIENTRAS QUE EN LAS SERIES REGRESIVAS LOS NÚMEROS VAN DE MAYOR A MENOR.

SERIE PROGRESIVA

DE 2 EN 2:

PATRÓN: + 2

DE 5 EN 5:

PATRÓN: + 5

DE 10 EN 10:

PATRÓN: + 10

SERIE REGRESIVA

DE 2 EN 2:

PATRÓN: − 2

DE 5 EN 5:

PATRÓN: − 5

DE 10 EN 10:

PATRÓN: − 10

¿SABÍAS QUÉ?

LAS SERIES PROGRESIVAS TAMBIÉN SON LLAMADAS SERIES ASCENDENTES, Y LAS SERIES REGRESIVAS SON CONOCIDAS COMO SERIES DESCENDENTES.

IDENTIFICAR EL PATRÓN EN UNA SERIE NUMÉRICA

PARA PODER IDENTIFICAR EL PATRÓN DE LA SERIE NUMÉRICA ES NECESARIO:

OBSERVAR LA SERIE.
IDENTIFICAR LA RELACIÓN ENTRE LOS NÚMERO.

OBSERVA ESTA SERIE, ¿QUÉ TIPO DE SERIE ES?, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

ESTA SERIE ES PROGRESIVA PORQUE VA DE MENOR A MAYOR. VA DE 7 EN 7. EL PATRÓN ES: + 7.

– OTRO EJEMPLO:

LA SERIE ES REGRESIVA PORQUE VA DE MAYOR A MENOR. VA DE 12 EN 12. EL PATRÓN ES: − 12.

¡A PRACTICAR!

1. ¿CUAL ES EL PATRÓN DE LAS SIGUIENTES SERIES NUMÉRICAS?

9, 18, 27, 36, 45, 54

SOLUCIÓN

LA SERIE ES ASCENDENTE DE 9 EN 9. EL PATRÓN ES: + 9.

100, 75, 50, 25

SOLUCIÓN

LA SERIE ES DESCENDENTE DE 25 EN 25. EL PATRÓN ES: − 25.

80, 60, 40, 20

SOLUCIÓN

LA SERIE ES DESCENDENTE DE 20 EN 20. EL PATRÓN ES: − 20.

14, 21, 28, 35

SOLUCIÓN

LA SERIE ES ASCENDENTE DE 7 EN 7. EL PATRÓN ES: + 7.

CONSTRUCCIÓN DE SERIES

PARA PODER CONSTRUIR SERIES NUMÉRICAS ASCENDENTES PODEMOS UTILIZAR LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, ESTAS SON UN RECURSO MUY ÚTIL QUE AYUDARÁ A ESTABLECER UNA RELACIÓN CON LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN. POR EJEMPLO, SI QUEREMOS EMPLEAR LAS TABLAS DEL 6, PODEMOS CONSTRUIR UNA SERIE ASCENDENTE DE 6 EN 6 Y LA MISMA SERÁ ASÍ: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54.

PARA CONSTRUIR SERIES ES NECESARIO ESTABLECER LO SIGUIENTE:

SI ES ASCENDENTE O DESCENDENTE.
EL PATRÓN.
UN INICIO Y UN FINAL.

– EJEMPLO:

CONSTRUYE UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE DE 15 EN 15, DESDE EL 15 HASTA EL 90.

ACTIVIDAD

1. ESCRIBIR UNA SERIE NUMÉRICA PARA CADA RELACIÓN:

ASCENDENTE DE 2 EN 2. DESDE 22 Y HASTA 32.

SOLUCIÓN

22, 24, 26, 28, 30, 32

DESCENDENTE DE 10 EN 10. DESDE 80 Y HASTA 20.

SOLUCIÓN

80, 70, 60, 50, 40, 30, 20

ASCENDENTE DE 5 EN 5. DESDE 5 HASTA 35.

RESPUESTAS

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35

DESCENDENTE DE 2 EN 2. DESDE 20 HASTA 10.

SOLUCIÓN

20, 18, 16, 14, 12, 10

2. COMPLETA LAS SIGUIENTES SERIES:

44, ___, 56, 62, 68, 74, ___

SOLUCIÓN

44, 50, 56, 62, 68, 74, 80

10, ___, 20, 25, 30, ___, ___

RESPUESTAS

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40

83, 80, ___, 74, ___. 68, ___

RESPUESTAS

83, 80, 77, 74, 71, 68, 65

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

En el siguiente artículo encontraras un desarrollo de teoría más avanzado de las series numéricas y la sucesión de términos.

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